Wasserstein距离的两阶段分布鲁棒优化实践与Matlab实现

markdown复制## 1. 项目概述

### 1.1 核心问题背景

在电力系统调度、供应链管理等实际工程问题中，决策者常常面临双重挑战：既要应对未来可能出现的多种不确定性场景，又要保证决策方案在最坏情况下仍具有可行性。传统随机优化方法依赖精确的概率分布假设，而鲁棒优化又往往过于保守。基于Wasserstein距离的两阶段分布鲁棒优化（DRO）正是为解决这一矛盾而提出的新型建模框架。

我最近在微电网调度项目中实践了这一方法，发现其独特的优势在于：通过Wasserstein球构建的模糊集既能利用历史数据信息，又不需要严格假设数据服从特定分布。下面以Matlab实现为例，详细解析该方法的建模思路与实现技巧。

### 1.2 Wasserstein距离的核心价值

Wasserstein距离（推土机距离）的数学定义为：

$$
W_p(P,Q) = \left( \inf_{\gamma \in \Gamma(P,Q)} \int_{X \times Y} d(x,y)^p d\gamma(x,y) \right)^{1/p}
$$

其中$\Gamma(P,Q)$是边缘分布为$P$和$Q$的所有联合分布集合。在实际应用中，我们通常采用1阶Wasserstein距离（p=1），其具有以下特性：

- **几何直观性**：可解释为将一个分布"搬移"成另一个分布的最小成本
- **数据驱动**：基于有限样本构建的经验分布具有统计一致性
- **计算友好**：对偶问题可转化为线性规划或二次规划

> 注意：Wasserstein半径$\epsilon$的选择至关重要。过小会导致鲁棒性不足，过大则会使解过于保守。实践中建议采用交叉验证法确定。

## 2. 模型构建与对偶转化

### 2.1 两阶段模型框架

典型的两阶段DRO问题可表述为：

$$
\min_{x \in \mathcal{X}} \left\{ c^T x + \sup_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P [Q(x,\xi)] \right\}
$$

其中$Q(x,\xi)$是第二阶段价值函数，$\mathcal{P}$为Wasserstein模糊集：

$$
\mathcal{P} = \{ P : W_1(P,\hat{P}_N) \leq \epsilon